1. 状态(状态变量) 能完全描述系统动态特性的最小变量组

  2. 状态空间模型

    $$ \begin{cases} \dot x = A x + B u \\ y = C x + D u\end{cases} $$

    1. 状态方程 描述系统系统动态特性变化
    2. 输出方程 描述系统输出与状态变量的关系

  3. 由物理机理建立状态空间表达式

  4. 由传递函数得出状态空间表达式

    1. 实现问题
    2. 最小实现 由无零极点对消的传递函数写出的状态空间模型, 非唯一

  5. 由状态空间表达式得到系统的传递函数

    $$ y(s) = \left(C(sI-A)^{-1}B+D\right)u(s) $$

  6. 能控标准型与能观标准型

  7. 特征值规范化

    $$ \begin{cases}x = P \tilde x\\ \tilde A = P^{-1}AP\\ \tilde B = P^{-1 }B \\ \tilde C = CP \\ \tilde D =D \end{cases} $$

  8. 状态转移矩阵的求解

    $$ x ( t ) = \ell ^ { - 1 } [ ( s I - A ) ^ { - 1 } ] x ( 0 ) + \ell ^ { - 1 } [ ( s I - A ) ^ { - 1 } B u ( s ) ] $$

  9. 状态转移矩阵 $\phi(t) = e^{At}$ 需要满足的两个条件

    $$ \begin{cases}\phi(0) = I \\ \dot \phi(t) = A \phi(t) \end{cases} \\ \dot \phi(t)|_{t=0} = A \phi(0) = A I = A $$

  10. 能控性与能观性的定义

  11. 能控, 能观判据

    $$ Q _ { c } = [ B , A B , A ^ { 2 } B , \cdots , A ^ { n - 1 } B ] $$

    系统状态完全能控的充分必要条件能控性判别$Q _ { c } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { B } & { A B } & { A ^ { 2 } B } & { \cdots } & { A ^ { n - 1 } B } \end{array} \right]$满秩, 即:

    $$ \operatorname { rank } Q _ { c } = \operatorname { rank } \left[ \begin{array} { l l l l } { B } & { A B } & { A ^ { 2 } B } & { \cdots } & { A ^ { n - 1 } B } \end{array} \right] = n $$

    系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性判别矩阵$Q_o$满秩

    $$ Q _ { o } = \left[ \begin{array} { c } { C } \\ { C A } \\ { \vdots } \\ { C A ^ { n - 1 } } \end{array} \right] = [ C ^ { T } \vdots A ^ { T } C ^ { T } \vdots \cdots ( A ^ { T } ) ^ { n - 1 } C ^ { T } ] ^ { T } $$

  12. 能控子系统, 能观子系统

    $$ P _ { c } = [ P _ { 1 } , P _ { 1 } , \cdots , P _ { n _ { c } } , \vdots P _ { n _ { c } + 1 } , \cdots , P _ { n } ] \\ P_{1-n_c}:从Q_c中任选不相关n_c个列向量 \\ P_{n_c+1 - P_n}:任 选 ， 要 确 保 P _ { c } 非 奇 异 ， P _ { c } ^ { - 1 }存 在 $$

    $$ P _ { o } ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { c } { P _ { 1 } } \\ { P _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { P _ { n _ { o } } } \\ { \cdots } \\ { P _ { n _ { o } + 1 } } \\ { \vdots } \\ { P _ { n } } \end{array} \right] \\ P_{1-n_o}为Q_o中互不相关的n_o个行向量\\P_{n_o+1-n}为任意, 保证P_o^{-1}非奇异 $$

  13. 稳定性

    1. 内部稳定性
    2. 外部稳定性 线性定常系统的有界输出有界输出问题

  14. Lyapunov判据 可适用于线性与非线性系统, 判断内部稳定性

  15. Lyapunov稳定性分类

    $$ 稳定性\begin{cases} 李雅普诺夫意义下稳定\\渐进稳定\\大范围渐进稳定\\不稳定\end{cases} $$

    1. 线性定常系统是内部稳定,则一定是外部稳定
    2. 线性定常系统是外部稳定,则不能保证是内部稳定
    3. 线性定常系统具有能控能观性,则其内部稳定和外部稳定是等价的

  16. Lyapunov第一法(间接法)

    渐近稳定的充要条件：$\operatorname { Re } ( \lambda _ { i } ) < 0 \quad i = 1,2 , \cdots n$ $A$ 的特征多项式: $\operatorname { det } ( s I - A ) = s ^ { n } + a _ { n - 1 } s ^ { n - 1 } + \cdots + a _ { 1 } s ^ { 1 } + a _ { 0 }$ 的所有特征值均具有负实部 ， $\lambda_i$ 是 $|\lambda I-A|$ 的 解 ， 即系统特征值 。

    若为非线性系统, 则需要在平衡点进行线性化(Taylor展开)

  17. Lyapunov第二法(直接法)

    构造一个Lyapunov函数, 可用一个正定的二次形表示 $V(x)$, 若其导数 $\dot V(x)$ 为负定的, 则稳定.

  18. 线性系统的Lyapunov函数

    性质

    设线性定常连续系统的状态方程为

    $$ \dot { x } = A x $$

    这样的线性系统具有如下特点：

    1. 当系统矩阵 $A$ 为非奇异时 ， 系统有且仅有一个平衡态 $x_ e =0$ ， 即为状态空间原点 ；
    2. 若该系统在平衡态 $x_ e = 0$ 的某个邻域上是渐近稳定的 ， 则 一定是大范围渐近稳定的；
    3. 对于该线性系统 ， 其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次型函数

    定理

    任意一个线性定常系统的平衡态 $x_e=0$ 渐进稳定的充要条件是:

    对于任意给定的正定矩阵 $Q$ (通常取$I$),都存在一个正定矩阵 $P$ 使得下式成立.

    $$ A^TP+PA=-Q $$

    标量函数 $x^TPx$ 是系统的一个李雅普诺夫函数。

  19. 状态反馈与输出反馈

    状态反馈不改变系统的能控性, 不保证系统的能观性. 只改变系统的可控模态

    输出反馈不改变系统的能控能观性, 是状态反馈的一种特例

    $$ \left. \begin{array} { l } { \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { \prime } = A x + B u } \\ { y = C x } \end{array} \right.} \\ { u = - K x + v } \end{array} \right. $$

    $$ \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { \prime } = ( A - B K ) x + B v } \\ { y = C x } \end{array} \right. $$

  20. 极点配置问题 极点可任意配置的充分必要条件是系统 $\sum(A, B, C)$ 完全可控

  21. 闭环系统的可镇定问题 利用状态反馈, 使系统从不可控→可控 条件: 不可控部分是渐进稳定的

  22. 状态观测器的设置

    $$ \dot { \hat { x } } = A \hat { x } + B u + l ( y - \hat { y } ) = A \hat { x } + B u + l ( y - C \hat { x } ) = ( A - l C ) \hat { x } + B u + l y $$

    $$ \dot { \hat { x } } - \dot { x } = ( A - l C ) ( \hat { x } - x ) --(A, C)完全可观

    $$