傅里叶变换学习笔记(4)

1. 对偶法则 Principle of Duality

在忽略实际含义的意义下观察傅里叶变换及逆变换公式：

$$ \begin{aligned} \mathcal { F } f ( s ) & = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - 2 \pi i s t } f ( t ) d t \\ \mathcal { F } ^ { - 1 } f ( s ) & = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { 2 \pi i s t } f ( t ) d t \end{aligned} $$

可以得到

$$ \begin{equation}\mathcal { F } f ( - s ) = \mathcal { F } ^ { - 1 } f ( s )\end{equation} $$

为了避免自变量带来的混淆，我们引入以下记号：

$$ \begin{aligned} f ^ { - } ( t ) & = f ( - t ) \\ ( \mathcal { F } f ) ^ { - } ( s ) & = ( \mathcal { F } f ) ( - s ) \\ \mathcal { F } f ^-( s ) & = \mathcal { F } ( f ( - s ) ) \end{aligned} $$

于是 (1) 式变为

$$ ( \mathcal { F } f ) ^ { - } = \mathcal { F } ^ { - 1 } f $$

另一方面考虑 $\mathcal { F } f ^-$ ，根据定义

$$ \mathcal { F } f ^ { - } ( s ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 2 \pi i s t } f ( - t ) d t $$

作代换 $u = - t$ 得到

$$ \begin{aligned} \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 2 \pi i s t } f ( - t ) d t & = \int _ { \infty } ^ { - \infty } e ^ { - 2 \pi i s ( - u ) } f ( u ) ( - d u ) \\ & = \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { 2 \pi i s u } f ( u ) d u \\ & = \mathcal { F } ^ { - 1 } f ( s ) \end{aligned} $$

于是我们得到了全部的对偶法则：

$$ ( \mathcal { F } f ) ^ { - } = \mathcal { F } ^ { - 1 } f = \mathcal { F } f ^ { - } $$

同时有

$$ \mathcal { F } ( \mathcal { F } f ) = f ^ { - } $$

对偶法则的推论

1. 傅里叶变换的复合以 $4$ 为周期，或者说傅里叶变换的四阶复合是恒等变换。

$$ \begin{array} { c } \mathcal { F } ^ { ( 3 ) } f = \mathcal { F } f ^ { - } = \mathcal { F } ^ { - 1 } f \\ \mathcal { F } ^ { ( 4 ) } f = f \end{array} $$

1. 傅里叶变换得到的函数与原函数奇偶性相同。
2. 如果 $f$ 是实值函数，那么 $\mathcal { F } f ^ { - } = \overline { \mathcal { F } f }$.
3. 如果 $f$ 是实值偶函数，那么 $\mathcal { F } f$ 是实值偶函数； 如果 $f$ 是实值奇函数，那么 $\mathcal { F } f$ 是奇函数，且是纯虚数。

2. 时移原理 the shift theorm

$$ \begin{aligned} \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( t + b ) e ^ { - 2 \pi i s t } d t & = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( u ) e ^ { - 2 \pi i s ( u - b ) } d u \\ & = \int _ { \infty } ^ { \infty } f ( u ) e ^ { - 2 \pi i s u } e ^ { 2 \pi i s b } d u \\ & = e ^ { 2 \pi i s b } \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( u ) e ^ { - 2 \pi i s u } d u \end{aligned} $$

如果 $f ( t ) \rightleftharpoons F ( s )$ ，那么 $f ( t + b ) \rightleftharpoons e ^ { 2 \pi i s b } F ( s )$ .

即：时域时移对应频域产生相移而幅度不变。因为傅里叶变换得到一个复数

$$ F ( s ) = | F ( s ) | e ^ { 2 \pi i \theta ( s ) } $$

（其中 $\theta (s)$ 表示相位）乘上 $e ^ { 2 \pi i s b }$ 得到

$$ F ( s ) \cdot e ^ { 2 \pi i s b } = | F ( s ) | \exp \{ 2 \pi i ( \theta ( s ) + s b ) \} $$

3. 压缩原理或相似原理 the skretch theorm or the similarity theorm

$$ \begin{aligned} \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( a t ) e ^ { 2 \pi i s t } d t & = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( u ) e ^ { 2 \pi i s ( u / a ) } \frac { 1 } { a } d u \\ & = \frac { 1 } { a } \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( u ) e ^ { - 2 \pi i ( s / a ) u } d u \\ & = \frac { 1 } { a } \mathcal { F } f \left( \frac { s } { a } \right) \end{aligned} $$

这里 $a > 0$，类似讨论 $a < 0$ 的情况得到：

如果 $f ( t ) \rightleftharpoons F ( s )$ ，那么 $f ( a t ) \rightleftharpoons \frac { 1 } { | a | } F \left( \frac { s } { a } \right)$ .

即：在时域上将信号压缩会使得频域上信号延展，时域上信号延展会使得频域上信号集中。

也就是说：一个信号不可能在时域和频域同时被压缩。

注意！由于傅里叶变换得到的是一个复数，所以这里所谓傅里叶变换的图像指模的图像。

4. 导数定理 the derivative theorem

$$ \begin{aligned} \mathcal { F } f ^ { \prime } ( s ) & = \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 2 \pi i s t } f ^ { \prime } ( t ) d t \\ & = \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 2 \pi i s t } d ( f ( t ) ) \\ & = ( 2 \pi i s ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 2 \pi i s t } f ( t ) d t \end{aligned} $$

即 $\mathcal { F } f ^ { \prime } ( s ) = ( 2 \pi i s ) \mathcal { F } f ( s )$ ，归纳得到

$$ \mathcal { F } f ^ { \prime } ( s ) = ( 2 \pi i s ) \mathcal { F } f ( s ) $$

同时我们有

$$ \begin{aligned} \mathcal { F } ^ { - 1 } f ^ { \prime } ( s ) & = \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { 2 \pi i s t } f ^ { \prime } ( t ) d t \\ & = \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { 2 \pi i s t } d ( f ( t ) ) \\ & = - ( 2 \pi i s ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 2 \pi i s t } f ( t ) d t \end{aligned} $$

即

$$ \mathcal { F } ^ { - 1 } f ^ { \prime } ( s ) = - ( 2 \pi i s ) \mathcal { F } ^ { - 1 } f ( s ) $$

于是

$$ \mathcal { F } ^ { - 1 } ( \mathcal { F } f ) ^ { \prime } ( t ) = - ( 2 \pi i t ) \mathcal { F } ^ { - 1 } \mathcal { F } f ( t ) = - ( 2 \pi i t ) f ( t ) $$

进而

$$ ( \mathcal { F } f ) ^ { \prime } ( t ) = - ( 2 \pi i t ) \mathcal { F } f ( t ) $$

总结一下即是

$$ \begin{array} { c } \mathcal { F } f ^ { \prime } ( s ) = ( 2 \pi i s ) \mathcal { F } f ( s ) \\ ( \mathcal { F } f ) ^ { \prime } ( t ) = - ( 2 \pi i t ) \mathcal { F } f ( t ) \end{array} $$

5.Parseval 等式：

证明：

我们实际上可以证明 $( f , g ) = ( \mathcal { F } f , \mathcal { F } g )$ ，即

$$ \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \overline { g ( x ) } d x = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { F } f ( x ) \overline { \mathcal { F } g ( x ) } d x $$

因为

$$ g ( t ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { F } g ( s ) e ^ { 2 \pi i s t } d s $$

所以

$$ \overline { g ( t ) } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \overline { \mathcal { F } g ( s ) } e ^ { - 2 \pi i s t } d s $$

进而

$$ \begin{aligned} \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \overline { g ( x ) } d x & = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( t ) \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \overline { \mathcal { F } g ( s ) } e ^ { - 2 \pi i s t } d s \right) d t \\ & = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \overline { \mathcal { F } g ( s ) } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( e ^ { - 2 \pi i s t } f ( t ) d t \right) d s \\ & = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { F } f ( x ) \overline { \mathcal { F } g ( x ) } d x \end{aligned} $$

考虑 $f ( x ) = g ( x )$ 的情形即得 Parseval 等式：

$$ \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \mathcal { F } f ( s ) | ^ { 2 } d s = \int _ { - \infty } ^ { \infty } | f ( t ) | ^ { 2 } d t $$