以下分别列举常用的向量范数和矩阵范数的定义。

• 向量范数

  1 - 范数：$\| x \| _ { 1 } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| x _ { i } \right|$，即向量元素绝对值之和，matlab 调用函数 norm(x, 1) 。

  2 - 范数：$\| \mathbf { x } \| _ { 2 } = \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } ^ { 2 } }$，Euclid 范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方，matlab 调用函数 norm(x, 2)。

  $\infty$ 范数：$\| \mathbf { x } \| _ { \infty } = \max _ { i } \left| x _ { i } \right|$，即所有向量元素绝对值中的最大值，matlab 调用函数 norm(x, inf)。

  $-\infty$ 范数：$\| \mathbf { x } \| _ { - \infty } = \min _ { i } \left| x _ { i } \right|$，即所有向量元素绝对值中的最小值，matlab 调用函数 norm(x, -inf)。

  p - 范数：$\| \mathbf { x } \| _ { p } = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| x _ { i } \right| ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } }$，即向量元素绝对值的 p 次方和的 1/p 次幂，matlab 调用函数 norm(x, p)。

• 矩阵范数

  1. 范数：$\| A \| _ { 1 } = \max _ { j } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left| a _ { i , j } \right|$， 列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值，matlab 调用函数 norm(A, 1)。

  2. 范数：$\| A \| _ { 2 } = \sqrt { \lambda _ { 1 } }$ ，$\lambda$ 为 $A ^ { T } A$ 的最大特征值。

  3. 谱范数，即 $A^TA$ 矩阵的最大特征值的开平方。matlab 调用函数 norm(x, 2)。

  4. $\infty$ 范数：$\| A \| _ { \infty } = \max _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left| a _ { i , j } \right|$，行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值，matlab 调用函数 norm(A, inf)。

  5. F - 范数：$\| A \| _ { F } = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left| a _ { i , j } \right| ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } }$，Frobenius 范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方，衡量矩阵的大小，matlab 调用函数 norm(A, ’fro‘)。

     $||A||_F = \sqrt{\text{Trac}(A^TA)}=\sqrt {\text{Trac}(AA^T)}$

  6. 核范数：$\| A \| _ { * } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } , \lambda _ { i }$ 是 $A$ 的奇异值。即奇异值之和。